一つ目の問題は、不定積分 $\int \frac{1}{4+x^2} dx$ を求める問題です。結果は $\frac{\text{ア}}{\text{イ}} \tan^{-1} \frac{x}{\text{ウ}} + C$ の形で表されます。 二つ目の問題は、不定積分 $\int xe^{x^2} dx$ を求める問題です。結果は $\frac{\text{ア}}{\text{イ}} e^{x^2} + C$ の形で表されます。

1. 問題の内容

一つ目の問題は、不定積分 $\int \frac{1}{4+x^2} dx$ を求める問題です。結果は $\frac{\text{ア}}{\text{イ}} \tan^{-1} \frac{x}{\text{ウ}} + C$ の形で表されます。

二つ目の問題は、不定積分 $\int xe^{x^2} dx$ を求める問題です。結果は $\frac{\text{ア}}{\text{イ}} e^{x^2} + C$ の形で表されます。

2. 解き方の手順

一つ目の問題：

$\int \frac{1}{4+x^2} dx$ を計算します。

この積分は $\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ という公式を使って解くことができます。

今回の問題では $a^2 = 4$ なので、$a = 2$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{4+x^2} dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$ となります。

この結果を $\frac{\text{ア}}{\text{イ}} \tan^{-1} \frac{x}{\text{ウ}} + C$ の形と比較すると、

ア = 1

イ = 2

ウ = 2

となります。

エ は不要です。

二つ目の問題：

$\int xe^{x^2} dx$ を計算します。

この積分は置換積分法を使って解くことができます。

$u = x^2$ と置くと、$du = 2x dx$ となります。

したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int xe^{x^2} dx = \int e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

となります。

この結果を $\frac{\text{ア}}{\text{イ}} e^{x^2} + C$ の形と比較すると、

ア = 1

イ = 2

となります。

ウ は不要です。

3. 最終的な答え

一つ目の問題：

ア: 1

イ: 2

ウ: 2

エ: 空欄

二つ目の問題：

ア: 1

イ: 2

ウ: 空欄