与えられた不定積分 $ \int xe^{x^2} dx $ を計算し、$ \frac{ア}{イ}e^{x^ウ}+C $ の形式で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int xe^{x^2} dx$ を計算し、$\frac{ア}{イ}e^{x^ウ}+C$ の形式で表す問題です。

2. 解き方の手順

この積分を解くには、置換積分を使用します。

$u = x^2$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2x$ となります。

したがって、$dx = \frac{du}{2x}$ となり、積分は以下のように変換できます。

$\int xe^{x^2} dx = \int xe^u \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int e^u du$

$e^u$ の積分は $e^u$ なので、

$\frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C$

$u$ を $x^2$ に戻すと、

$\frac{1}{2} e^{x^2} + C$

したがって、$\frac{ア}{イ}e^{x^ウ}+C = \frac{1}{2}e^{x^2}+C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}e^{x^2}+C$