与えられた不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を利用します。

ステップ1: $u = x+1$ と置換します。すると、$du = dx$ となります。

この置換を積分に適用すると、

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} du = \int u^{-\frac{1}{3}} du$

となります。

ステップ2: 指数関数 $u^{-\frac{1}{3}}$ を積分します。

$\int u^{-\frac{1}{3}} du = \frac{u^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} + C = \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ3: $u$ を元の変数 $x$ に戻します。

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2} (x+1)^{\frac{2}{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}} dx = \frac{3}{2}(x+1)^{\frac{2}{3}} + C$