2つの不定積分を求める問題です。 問題1: $\int \frac{1}{4 + x^2} dx$ を求め、$A \tan^{-1}(\frac{x}{B}) + C$ の形で答える。 問題2: $\int x e^{x^2} dx$ を求め、$A e^{x^2} + C$ の形で答える。

1. 問題の内容

2つの不定積分を求める問題です。

問題1: $\int \frac{1}{4 + x^2} dx$ を求め、$A \tan^{-1}(\frac{x}{B}) + C$ の形で答える。

問題2: $\int x e^{x^2} dx$ を求め、$A e^{x^2} + C$ の形で答える。

2. 解き方の手順

**問題1:** $\int \frac{1}{4 + x^2} dx$ の計算

まず、積分を以下のように変形します。

$\int \frac{1}{4 + x^2} dx = \int \frac{1}{4(1 + \frac{x^2}{4})} dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + (\frac{x}{2})^2} dx$

次に、置換積分を行います。$u = \frac{x}{2}$ とすると、$du = \frac{1}{2} dx$ より、$dx = 2 du$ です。

したがって、

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^2} (2 du) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u^2} du$

$\int \frac{1}{1 + u^2} du = \tan^{-1}(u) + C$ であるので、

$\frac{1}{2} \tan^{-1}(u) + C = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$

したがって、積分は $\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$ となります。

**問題2:** $\int x e^{x^2} dx$ の計算

置換積分を行います。$u = x^2$ とすると、$du = 2x dx$ より、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

したがって、

$\int x e^{x^2} dx = \int e^u (\frac{1}{2} du) = \frac{1}{2} \int e^u du$

$\int e^u du = e^u + C$ であるので、

$\frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

したがって、積分は $\frac{1}{2} e^{x^2} + C$ となります。

3. 最終的な答え

**問題1:**

ア: 1

イ: 2

ウ: x

エ: 2

**問題2:**

ア: 1

イ: 2

ウ: x^2