関数 $f(x) = x\sqrt[3]{x+1} = x(x+1)^{1/3}$ ($x \ge -1$) の極値を求め、グラフの概形を描き、最大値・最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x\sqrt[3]{x+1} = x(x+1)^{1/3}$ ($x \ge -1$) の極値を求め、グラフの概形を描き、最大値・最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f(x) = x(x+1)^{1/3}$ より、積の微分法を用いると、

$f'(x) = (x)'(x+1)^{1/3} + x((x+1)^{1/3})'$

$f'(x) = (x+1)^{1/3} + x \cdot \frac{1}{3}(x+1)^{-2/3} = (x+1)^{1/3} + \frac{x}{3(x+1)^{2/3}}$

通分して整理すると、

$f'(x) = \frac{3(x+1) + x}{3(x+1)^{2/3}} = \frac{4x+3}{3(x+1)^{2/3}}$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$f'(x) = 0$ より、$4x+3=0$ となるので、$x = -\frac{3}{4}$ が極値の候補となります。

(3) $x = -1$ における $f'(x)$ を調べます。

$x = -1$ は定義域の端点なので、微分可能性を調べる必要があります。$\lim_{x \to -1^+} f'(x)$ を計算します。

$\lim_{x \to -1^+} f'(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{4x+3}{3(x+1)^{2/3}} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$

したがって、$x=-1$ では微分可能ではありません。

(4) 増減表を作成します。

$x$ | $-1$ | ... | $-\frac{3}{4}$ | ...

------- | -------- | -------- | -------- | --------

$f'(x)$ | $-\infty$ | $-$ | $0$ | $+$

$f(x)$ | $0$ | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$

(5) $f(x)$ の極値を求めます。

$x = -\frac{3}{4}$ のとき、

$f(-\frac{3}{4}) = -\frac{3}{4}(-\frac{3}{4}+1)^{1/3} = -\frac{3}{4}(\frac{1}{4})^{1/3} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = -\frac{3}{4\sqrt[3]{4}}$

したがって、$f(-\frac{3}{4}) = -\frac{3}{4\sqrt[3]{4}}$ は極小値です。

(6) グラフの概形を描きます。

$f(-1) = 0$, $f(0) = 0$ であり、$x \to \infty$ で $f(x) \to \infty$ であることを考慮して概形を描きます。

(7) 最大値と最小値を求めます。

$x \ge -1$ において、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ なので、最大値は存在しません。

$x = -\frac{3}{4}$ で極小値 $f(-\frac{3}{4}) = -\frac{3}{4\sqrt[3]{4}}$ をとり、これが最小値となります。

3. 最終的な答え

極小値: $f(-\frac{3}{4}) = -\frac{3}{4\sqrt[3]{4}}$

最大値: なし

最小値: $-\frac{3}{4\sqrt[3]{4}}$