関数 $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 3}{1+x^2}$ の不定積分 $\int f(x) \, dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 3}{1+x^2}$ の不定積分 $\int f(x) \, dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を変形します。

$f(x) = \frac{x^2 - 2x + 3}{1+x^2} = \frac{(x^2 + 1) - 2x + 2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 + 1} = 1 - \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 + 1}$

したがって、

$\int f(x) \, dx = \int \left(1 - \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 + 1}\right) \, dx$

各項ごとに積分します。

$\int 1 \, dx = x + C_1$

$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$ について、$u = x^2 + 1$ とすると、$du = 2x \, dx$ となるので、

$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C_2 = \ln(x^2 + 1) + C_2$

(ここで、$x^2 + 1 > 0$ なので絶対値を外しています。)

$\int \frac{2}{x^2 + 1} \, dx = 2 \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = 2 \arctan(x) + C_3$

したがって、

$\int f(x) \, dx = x - \ln(x^2 + 1) + 2 \arctan(x) + C$

(ここで、$C = C_1 - C_2 + C_3$ は積分定数です。)

3. 最終的な答え

$\int f(x) \, dx = x - \ln(x^2 + 1) + 2 \arctan(x) + C$