与えられた積分 $\int (e^x - \frac{1}{2} \cos{3x}) dx$ を計算する問題です。

解析学積分指数関数三角関数定積分
2025/7/5

1. 問題の内容

与えられた積分 (ex12cos3x)dx\int (e^x - \frac{1}{2} \cos{3x}) dx を計算する問題です。

2. 解き方の手順

積分は線形性を持つので、それぞれの項を別々に積分できます。
ステップ1: exe^x の積分を計算します。
exdx=ex+C1\int e^x dx = e^x + C_1
ステップ2: 12cos3x\frac{1}{2} \cos{3x} の積分を計算します。
12cos3xdx=12cos3xdx\int \frac{1}{2} \cos{3x} dx = \frac{1}{2} \int \cos{3x} dx
ここで、cosaxdx=1asinax+C\int \cos{ax} dx = \frac{1}{a} \sin{ax} + C であることを利用します。
12cos3xdx=1213sin3x+C2=16sin3x+C2\frac{1}{2} \int \cos{3x} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \sin{3x} + C_2 = \frac{1}{6} \sin{3x} + C_2
ステップ3: ステップ1とステップ2の結果を組み合わせて、全体の積分を計算します。
(ex12cos3x)dx=exdx12cos3xdx=ex16sin3x+C\int (e^x - \frac{1}{2} \cos{3x}) dx = \int e^x dx - \int \frac{1}{2} \cos{3x} dx = e^x - \frac{1}{6} \sin{3x} + C
ここで、C=C1C2C = C_1 - C_2 は積分定数です。

3. 最終的な答え

ex16sin3x+Ce^x - \frac{1}{6} \sin{3x} + C

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