与えられた4つの不定積分を計算し、積分定数をKとして表す問題です。 (1) $\int 2x^3 dx$ (2) $\int (x-2)^3 dx$ (3) $\int (x + 3\sin x) dx$ (4) $\int (e^x - \frac{1}{2} \cos 3x) dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算し、積分定数をKとして表す問題です。

(1) $\int 2x^3 dx$

(2) $\int (x-2)^3 dx$

(3) $\int (x + 3\sin x) dx$

(4) $\int (e^x - \frac{1}{2} \cos 3x) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int 2x^3 dx$

定数の倍数の積分は、定数を積分の外に出すことができます。

$2 \int x^3 dx$

$x^n$ の積分は $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ です。

$2 \cdot \frac{x^4}{4} + K$

$\frac{x^4}{2} + K$

(2) $\int (x-2)^3 dx$

$u = x - 2$ と置換すると、$du = dx$ となります。

$\int u^3 du$

$\frac{u^4}{4} + K$

$u$ を元に戻すと、

$\frac{(x-2)^4}{4} + K$

(3) $\int (x + 3\sin x) dx$

積分は和の形で分解できます。

$\int x dx + 3 \int \sin x dx$

$\frac{x^2}{2} + 3(-\cos x) + K$

$\frac{x^2}{2} - 3\cos x + K$

(4) $\int (e^x - \frac{1}{2} \cos 3x) dx$

積分は和の形で分解できます。

$\int e^x dx - \frac{1}{2} \int \cos 3x dx$

$e^x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \sin 3x + K$

$e^x - \frac{1}{6} \sin 3x + K$

3. 最終的な答え

(1) $\int 2x^3 dx = \frac{x^4}{2} + K$

(2) $\int (x-2)^3 dx = \frac{(x-2)^4}{4} + K$

(3) $\int (x + 3\sin x) dx = \frac{x^2}{2} - 3\cos x + K$

(4) $\int (e^x - \frac{1}{2} \cos 3x) dx = e^x - \frac{1}{6} \sin 3x + K$