与えられた積分を計算します。 $\int \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

ステップ1: $u = 2x - 1$ と置きます。

ステップ2: $du = 2dx$ より、$dx = \frac{1}{2}du$ を得ます。

ステップ3: 積分を $u$ で書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du$

ステップ4: 積分を計算します。

$\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ5: $u$ を $x$ に戻します。

$\sqrt{2x - 1} + C$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2x-1} + C$