$\int \frac{x}{\sqrt{1+x}} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \frac{x}{\sqrt{1+x}} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$t = \sqrt{1+x}$ と置くと、$t^2 = 1+x$ となります。

したがって、$x = t^2 - 1$ であり、$dx = 2t dt$ です。

これらを元の積分に代入すると、

$$\int \frac{t^2-1}{t} \cdot 2t dt = 2 \int (t^2-1) dt$$

となります。

この積分は簡単に計算でき、

$$2 \int (t^2-1) dt = 2 \left( \frac{t^3}{3} - t \right) + C = \frac{2}{3}t^3 - 2t + C$$

となります。

最後に、$t = \sqrt{1+x}$ を代入すると、

$$\frac{2}{3} (\sqrt{1+x})^3 - 2 \sqrt{1+x} + C = \frac{2}{3} (1+x)^{3/2} - 2(1+x)^{1/2} + C$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3} (1+x)^{3/2} - 2(1+x)^{1/2} + C$