与えられた3つの不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の3つを計算します。 (1) $\int (5x^2 + 3x - 2) \, dx$ (2) $\int \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \, dx$ (3) $\int \sin(3x) \, dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の3つを計算します。

(1) $\int (5x^2 + 3x - 2) \, dx$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \, dx$

(3) $\int \sin(3x) \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (5x^2 + 3x - 2) \, dx$ の計算

多項式の積分は、各項ごとに積分します。

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$) を用います。

定数倍は積分の外に出せます。

$\int (5x^2 + 3x - 2) \, dx = 5 \int x^2 \, dx + 3 \int x \, dx - 2 \int 1 \, dx$

$= 5 \cdot \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} - 2x + C$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \, dx$ の計算

$u = 2x - 1$ と置換します。

$\frac{du}{dx} = 2$ より、$dx = \frac{1}{2} du$

$\int \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = u^{1/2} + C = \sqrt{2x-1} + C$

(3) $\int \sin(3x) \, dx$ の計算

$u = 3x$ と置換します。

$\frac{du}{dx} = 3$ より、$dx = \frac{1}{3} du$

$\int \sin(3x) \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int \sin(u) \, du$

$= \frac{1}{3} (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{3} \cos(3x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (5x^2 + 3x - 2) \, dx = \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 2x + C$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \, dx = \sqrt{2x-1} + C$

(3) $\int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos(3x) + C$