与えられた5つの不定積分を計算し、積分定数をKとして表す問題です。 (1) $\int dx$ (2) $\int x^3 dx$ (3) $\int (x+4) dx$ (4) $\int (2x^2-3) dx$ (5) $\int (x+1)(x-3) dx$

1. 問題の内容

与えられた5つの不定積分を計算し、積分定数をKとして表す問題です。

(1) $\int dx$

(2) $\int x^3 dx$

(3) $\int (x+4) dx$

(4) $\int (2x^2-3) dx$

(5) $\int (x+1)(x-3) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int dx$

$x$を微分すると1になるので、

$\int dx = x + K$

(2) $\int x^3 dx$

不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + K$ を用いると、

$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + K = \frac{x^4}{4} + K$

(3) $\int (x+4) dx$

$\int (x+4) dx = \int x dx + \int 4 dx$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + K_1$

$\int 4 dx = 4x + K_2$

よって、$\int (x+4) dx = \frac{x^2}{2} + 4x + K$ (ただし、$K = K_1 + K_2$)

(4) $\int (2x^2-3) dx$

$\int (2x^2-3) dx = 2 \int x^2 dx - 3 \int dx$

$2 \int x^2 dx = 2 (\frac{x^3}{3}) + K_1 = \frac{2x^3}{3} + K_1$

$3 \int dx = 3x + K_2$

よって、$\int (2x^2-3) dx = \frac{2x^3}{3} - 3x + K$ (ただし、$K = K_1 - K_2$)

(5) $\int (x+1)(x-3) dx$

まず、被積分関数を展開します。

$(x+1)(x-3) = x^2 -3x + x - 3 = x^2 -2x -3$

$\int (x^2 -2x -3) dx = \int x^2 dx - 2 \int x dx - 3 \int dx$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + K_1$

$2 \int x dx = 2 (\frac{x^2}{2}) + K_2 = x^2 + K_2$

$3 \int dx = 3x + K_3$

よって、$\int (x+1)(x-3) dx = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + K$ (ただし、$K = K_1 - K_2 - K_3$)

3. 最終的な答え

(1) $\int dx = x + K$

(2) $\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + K$

(3) $\int (x+4) dx = \frac{x^2}{2} + 4x + K$

(4) $\int (2x^2-3) dx = \frac{2x^3}{3} - 3x + K$

(5) $\int (x+1)(x-3) dx = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + K$