関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 1$ の極値を求める問題です。具体的には、導関数 $f'(x)$ を因数分解し、微分係数が0となる $x$ の値を求め、増減表を作成することで、関数 $f(x)$ が極大値と極小値をとる $x$ の値と、それぞれの極値を求めることが目的です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 1$ の極値を求める問題です。具体的には、導関数 $f'(x)$ を因数分解し、微分係数が0となる $x$ の値を求め、増減表を作成することで、関数 $f(x)$ が極大値と極小値をとる $x$ の値と、それぞれの極値を求めることが目的です。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 1$ より、

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

(2) $f'(x)$ を因数分解する。

$f'(x) = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x+1)(x-3)$

(3) 微分係数が0となる $x$ の値を求める。

$f'(x) = 0$ となるのは、$x+1 = 0$ または $x-3 = 0$ のときなので、$x = -1, 3$

(4) 増減表を作成する。

$x$ | ... | -1 | ... | 3 | ...

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$f'(x)$ | + | 0 | - | 0 | +

$f(x)$ | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加

(5) 極大値と極小値を求める。

$x = -1$ のとき、$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 1 = -1 - 3 + 9 - 1 = 4$

$x = 3$ のとき、$f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) - 1 = 27 - 27 - 27 - 1 = -28$

したがって、関数 $y=f(x)$ は $x=-1$ で極大値 $4$ をとり、$x=3$ で極小値 $-28$ をとることがわかります。

3. 最終的な答え

(1): 3

(2): 1

(3): 3

(4): 1

(5): 3

(6): 1.0

(7): 4.0

(8): 三

(9): 28.0