次の積分を計算します。 $\int \frac{2x+1}{x+6} dx$

1. 問題の内容

次の積分を計算します。

$\int \frac{2x+1}{x+6} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{2x+1}{x+6}$ を変形します。分子を $x+6$ の形に近づけるために、以下のように変形します。

$2x+1 = 2(x+6) - 12 + 1 = 2(x+6) - 11$

したがって、

$\frac{2x+1}{x+6} = \frac{2(x+6) - 11}{x+6} = \frac{2(x+6)}{x+6} - \frac{11}{x+6} = 2 - \frac{11}{x+6}$

これにより、積分は以下のようになります。

$\int \frac{2x+1}{x+6} dx = \int \left(2 - \frac{11}{x+6}\right) dx$

積分を分割します。

$\int \left(2 - \frac{11}{x+6}\right) dx = \int 2 dx - \int \frac{11}{x+6} dx = 2 \int dx - 11 \int \frac{1}{x+6} dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int dx = x + C_1$

$\int \frac{1}{x+6} dx = \ln |x+6| + C_2$

したがって、

$2 \int dx - 11 \int \frac{1}{x+6} dx = 2x - 11 \ln |x+6| + C$

ここで、$C = 2C_1 - 11C_2$ です。

3. 最終的な答え

$2x - 11 \ln |x+6| + C$