$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、以下の三角関数の方程式を解く。 (1) $\sin x + \cos x = -1$ (2) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、以下の三角関数の方程式を解く。

(1) $\sin x + \cos x = -1$

(2) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin x + \cos x = -1$

左辺を合成する。$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$

したがって、$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le x < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$

$\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ は、$\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ または $x + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

$x = \pi$ または $x = \frac{3\pi}{2}$

(2) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{3}$

左辺を合成する。$\sqrt{3}\sin x - \cos x = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})$

したがって、$2\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ または $x - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

$x = \frac{\pi}{2}$ または $x = \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \pi, \frac{3\pi}{2}$

(2) $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$