与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \alpha} \frac{x \sin x - \alpha \sin \alpha}{\sin(x - \alpha)} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \alpha} \frac{x \sin x - \alpha \sin \alpha}{\sin(x - \alpha)}$$

2. 解き方の手順

この極限は、$x \to \alpha$のとき、分子も分母も0に近づくため、ロピタルの定理を使用できます。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分:

$$\frac{d}{dx} (x \sin x - \alpha \sin \alpha) = \sin x + x \cos x$$

分母の微分:

$$\frac{d}{dx} \sin(x - \alpha) = \cos(x - \alpha)$$

したがって、ロピタルの定理を適用すると、

$$\lim_{x \to \alpha} \frac{x \sin x - \alpha \sin \alpha}{\sin(x - \alpha)} = \lim_{x \to \alpha} \frac{\sin x + x \cos x}{\cos(x - \alpha)}$$

$x \to \alpha$のとき、

$$\lim_{x \to \alpha} \frac{\sin x + x \cos x}{\cos(x - \alpha)} = \frac{\sin \alpha + \alpha \cos \alpha}{\cos(\alpha - \alpha)} = \frac{\sin \alpha + \alpha \cos \alpha}{\cos(0)} = \frac{\sin \alpha + \alpha \cos \alpha}{1}$$

よって、

$$\lim_{x \to \alpha} \frac{x \sin x - \alpha \sin \alpha}{\sin(x - \alpha)} = \sin \alpha + \alpha \cos \alpha$$

3. 最終的な答え

$\sin \alpha + \alpha \cos \alpha$