$\{-e^{-2x}\}' = \boxed{(1)} e^{-2x}$ の $\boxed{(1)}$ を求める問題。

## 問題 1

1. 問題の内容

$\{-e^{-2x}\}' = \boxed{(1)} e^{-2x}$ の $\boxed{(1)}$ を求める問題。

2. 解き方の手順

$y = -e^{-2x}$ を微分する。

$y' = -e^{-2x} \cdot (-2) = 2e^{-2x}$

よって $\boxed{(1)} = 2$

3. 最終的な答え

2

## 問題 2

1. 問題の内容

$\{(x^2+2x+1)^3\}' = \boxed{(3)}(x+\boxed{(4)})(x^2+2x+1)^{\boxed{(5)}}$ の $\boxed{(3)}$, $\boxed{(4)}$, $\boxed{(5)}$ を求める問題。

2. 解き方の手順

$y = (x^2+2x+1)^3 = ((x+1)^2)^3 = (x+1)^6$

$y' = 6(x+1)^5 = 6(x+1)(x+1)^4 = 6(x+1)((x+1)^2)^2 = 6(x+1)(x^2+2x+1)^2$

よって $\boxed{(3)} = 6$, $\boxed{(4)} = 1$, $\boxed{(5)} = 2$

3. 最終的な答え

6, 1, 2

## 問題 3

1. 問題の内容

$\{(-3x+2)^{0.2}(-2x+3)^{0.3}\}' = \frac{\boxed{(6)}(x-\boxed{(7)})}{(-3x+2)^{\boxed{(8)}}(-2x+3)^{\boxed{(9)}}}$ の $\boxed{(6)}$, $\boxed{(7)}$, $\boxed{(8)}$, $\boxed{(9)}$ を求める問題。

2. 解き方の手順

$y = (-3x+2)^{0.2}(-2x+3)^{0.3}$

$\log y = 0.2 \log(-3x+2) + 0.3 \log(-2x+3)$

$\frac{y'}{y} = 0.2 \cdot \frac{-3}{-3x+2} + 0.3 \cdot \frac{-2}{-2x+3} = \frac{-0.6}{-3x+2} + \frac{-0.6}{-2x+3} = \frac{0.6}{3x-2} + \frac{0.6}{2x-3}$

$\frac{y'}{y} = \frac{0.6(2x-3)+0.6(3x-2)}{(3x-2)(2x-3)} = \frac{0.6(5x-5)}{(3x-2)(2x-3)} = \frac{3(x-1)}{(3x-2)(2x-3)}$

$y' = \frac{3(x-1)}{(3x-2)(2x-3)} y = \frac{3(x-1)(-3x+2)^{0.2}(-2x+3)^{0.3}}{(3x-2)(2x-3)} = \frac{3(x-1)}{(-3x+2)^{0.8}(-2x+3)^{0.7}}$

よって $\boxed{(6)} = 3$, $\boxed{(7)} = 1$, $\boxed{(8)} = 0.8$, $\boxed{(9)} = 0.7$

3. 最終的な答え

3, 1, 0.8, 0.7

## 問題 4

1. 問題の内容

$f(x) = x^{0.4}(100-2x)^{0.6}$ (ただし $0 < x < 50$) とする。

$f'(x) = \frac{\boxed{(10)}(\boxed{(11)} - x)}{x^{\boxed{(12)}}(100-2x)^{\boxed{(13)}}}$ となるので、$f'(x) = 0$ となるのは $x = \boxed{(14)}$ のときである。

2. 解き方の手順

$\log f(x) = 0.4 \log x + 0.6 \log (100-2x)$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{0.4}{x} + 0.6 \cdot \frac{-2}{100-2x} = \frac{0.4}{x} - \frac{1.2}{100-2x} = \frac{0.4(100-2x) - 1.2x}{x(100-2x)} = \frac{40 - 0.8x - 1.2x}{x(100-2x)} = \frac{40 - 2x}{x(100-2x)} = \frac{2(20 - x)}{x(100-2x)}$

$f'(x) = \frac{2(20-x)}{x(100-2x)} f(x) = \frac{2(20-x)x^{0.4}(100-2x)^{0.6}}{x(100-2x)} = \frac{2(20-x)}{x^{0.6}(100-2x)^{0.4}}$

$f'(x) = 0$ より $20-x=0$ つまり $x=20$

よって $\boxed{(10)} = 2$, $\boxed{(11)} = 20$, $\boxed{(12)} = 0.6$, $\boxed{(13)} = 0.4$, $\boxed{(14)} = 20$

3. 最終的な答え

2, 20, 0.6, 0.4, 20

## 問題 5

1. 問題の内容

$\{(1+(1+x)^{1.5})^{1.5}\}' = \boxed{(15)} (1+x)^{\boxed{(16)}} (1+(1+x)^{1.5})^{\boxed{(17)}}$ の $\boxed{(15)}$, $\boxed{(16)}$, $\boxed{(17)}$ を求める問題。

2. 解き方の手順

$y = (1+(1+x)^{1.5})^{1.5}$

$y' = 1.5 (1+(1+x)^{1.5})^{0.5} \cdot (1.5(1+x)^{0.5}) = 1.5 \cdot 1.5 (1+x)^{0.5} (1+(1+x)^{1.5})^{0.5} = 2.25 (1+x)^{0.5} (1+(1+x)^{1.5})^{0.5}$

よって $\boxed{(15)} = 2.25$, $\boxed{(16)} = 0.5$, $\boxed{(17)} = 0.5$

3. 最終的な答え

2.25, 0.5, 0.5