関数 $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1-x}$ の極値を求める問題です。空欄を埋めて、導関数 $f'(x)$ を求め、微分係数が0となる $x$ の値を求め、増減表を作成して極値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1-x}$ の極値を求める問題です。空欄を埋めて、導関数 $f'(x)$ を求め、微分係数が0となる $x$ の値を求め、増減表を作成して極値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = x^{\frac{1}{2}} + (1-x)^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-1)$

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{1}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2(1-x)^{\frac{1}{2}}}$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

$\sqrt{x} = \sqrt{1-x}$

$x = 1 - x$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

次に、増減表を作成します。$x$ の定義域は $0 \le x \le 1$ です。

$x=0$のとき、$f(0)=\sqrt{0}+\sqrt{1-0} = 1$

$x=\frac{1}{2}$のとき、$f(\frac{1}{2})=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{1-\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$x=1$のとき、$f(1)=\sqrt{1}+\sqrt{1-1} = 1$

$x = \frac{1}{2}$ で極大値をとります。極大値は $\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1): 1/2

(2): -1/2

(3): 1/2

(4): 1

(5): -1/2

(6): 1/2

(7): 1/2

(8): 極大値

$f(\frac{1}{2})$ = $\sqrt{2}$ をとることがわかる。