与えられた級数 $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$ の和を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた級数 $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

級数 $S$ は、各項の係数が等差数列 $\{3k-2\}_{k=1}^{n}$ であり、各項が $x$ のべき乗で表される級数である。このような級数の和を求めるには、まず $xS$ を計算し、$S$ から $xS$ を引くことで、多くの項を消去する方法を用いる。

まず、$S$ の式を書き下す。

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

次に、$xS$ を計算する。

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + 10x^4 + \dots + (3n-2)x^{n}$

ここで、$S - xS$ を計算する。

$S - xS = (1 - x)S = 1 + (4x - x) + (7x^2 - 4x^2) + (10x^3 - 7x^3) + \dots + ((3n-2)x^{n-1} - (3n-5)x^{n-1}) - (3n-2)x^n$

$(1 - x)S = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^n$

ここで、$3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1}$ は等比数列の和である。この和を計算する。

$3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} = 3x(1 + x + x^2 + \dots + x^{n-2}) = 3x \frac{1-x^{n-1}}{1-x}$

よって、

$(1 - x)S = 1 + 3x \frac{1-x^{n-1}}{1-x} - (3n-2)x^n$

両辺を $(1 - x)$ で割る。

$S = \frac{1}{1-x} + \frac{3x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2} - \frac{(3n-2)x^n}{1-x}$

$S = \frac{(1-x) + 3x(1-x^{n-1}) - (3n-2)x^n(1-x)}{(1-x)^2}$

$S = \frac{1-x + 3x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

$S = \frac{1 + 2x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$