与えられた関数 $f(x, y) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $f(x, y)$ の偏導関数 $\frac{\partial}{\partial x} f(x, y)$ と $\frac{\partial}{\partial y} f(x, y)$ を求める。 (2) $f(x, y)$ の臨界点をすべて求める。 (3) 臨界点において、$f(x, y)$ が極大値、極小値、鞍点のいずれになるかを判定する。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $f(x, y)$ の偏導関数 $\frac{\partial}{\partial x} f(x, y)$ と $\frac{\partial}{\partial y} f(x, y)$ を求める。

(2) $f(x, y)$ の臨界点をすべて求める。

(3) 臨界点において、$f(x, y)$ が極大値、極小値、鞍点のいずれになるかを判定する。

2. 解き方の手順

(1) 偏導関数の計算

まず、$x$ に関する偏導関数を求めます。

$\frac{\partial}{\partial x} f(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5) = x^2 - 2x$

次に、$y$ に関する偏導関数を求めます。

$\frac{\partial}{\partial y} f(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5) = 1 - y^4$

(2) 臨界点の計算

臨界点は、偏導関数が両方とも0になる点です。つまり、以下の連立方程式を解きます。

$x^2 - 2x = 0$

$1 - y^4 = 0$

最初の式から、$x(x - 2) = 0$ なので、$x = 0$ または $x = 2$。

二番目の式から、$y^4 = 1$ なので、$y = 1$ または $y = -1$。

したがって、臨界点は $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(2, 1)$, $(2, -1)$ の4点です。

(3) 臨界点の判定

ヘッセ行列を計算して、各臨界点を判定します。

まず、二階偏導関数を計算します。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2x - 2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4y^3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$

ヘッセ行列は次のようになります。

$H(x, y) = \begin{pmatrix} 2x - 2 & 0 \\ 0 & -4y^3 \end{pmatrix}$

ヘッセ行列式は $D(x, y) = (2x - 2)(-4y^3) = -8y^3(x - 1)$ です。

各臨界点におけるヘッセ行列式を計算します。

* $(0, 1)$: $D(0, 1) = -8(0 - 1) = 8 > 0$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 1) = -2 < 0$ なので、極大値。

* $(0, -1)$: $D(0, -1) = 8(-1)(0 - 1) = -8 < 0$ なので、鞍点。

* $(2, 1)$: $D(2, 1) = -8(2 - 1) = -8 < 0$ なので、鞍点。

* $(2, -1)$: $D(2, -1) = 8(-1)(2 - 1) = 8 > 0$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(2, -1) = 2 > 0$ なので、極小値。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial}{\partial x} f(x, y) = x^2 - 2x$, $\frac{\partial}{\partial y} f(x, y) = 1 - y^4$

(2) 臨界点は $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(2, 1)$, $(2, -1)$

(3)

* $(0, 1)$：極大値

* $(0, -1)$：鞍点

* $(2, 1)$：鞍点

* $(2, -1)$：極小値