関数 $f(x,y)$ と $g(x,y)$ が与えられています。ここで、 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x}{y}\arctan(\frac{y}{x}) - \frac{y}{x}\arctan(\frac{x}{y}), & xy \neq 0 \\ 0, & xy = 0 \end{cases}$ $g(x, y) = xyf(x, y), (x, y) \in \mathbb{R}^2$ (1) $a \neq 0$ のとき、$\lim_{x\to 0} f(x, a)$ および $\lim_{y\to 0} f(a, y)$ を求める。 (2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0)$ および $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ と $g(x,y)$ が与えられています。ここで、

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{x}{y}\arctan(\frac{y}{x}) - \frac{y}{x}\arctan(\frac{x}{y}), & xy \neq 0 \\

0, & xy = 0

\end{cases}$

$g(x, y) = xyf(x, y), (x, y) \in \mathbb{R}^2$

(1) $a \neq 0$ のとき、$\lim_{x\to 0} f(x, a)$ および $\lim_{y\to 0} f(a, y)$ を求める。

(2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0)$ および $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算

- $\lim_{x \to 0} f(x, a)$ を求める。$a \neq 0$ なので、$x \neq 0$ のとき $xa \neq 0$。

$f(x, a) = \frac{x}{a}\arctan(\frac{a}{x}) - \frac{a}{x}\arctan(\frac{x}{a})$

$\lim_{x \to 0} f(x, a) = \lim_{x \to 0} [\frac{x}{a}\arctan(\frac{a}{x}) - \frac{a}{x}\arctan(\frac{x}{a})]$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{a}\arctan(\frac{a}{x}) = \frac{0}{a}\arctan(\pm\infty) = 0 \cdot (\pm\frac{\pi}{2}) = 0$

$\lim_{x \to 0} \frac{a}{x}\arctan(\frac{x}{a}) = \lim_{x \to 0} \frac{a}{x}(\frac{x}{a} - \frac{1}{3}(\frac{x}{a})^3 + \cdots) = a \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}(\frac{x}{a}) = 1$

よって、$\lim_{x \to 0} f(x, a) = 0 - 1 = -1$

- $\lim_{y \to 0} f(a, y)$ を求める。$a \neq 0$ なので、$y \neq 0$ のとき $ay \neq 0$。

$f(a, y) = \frac{a}{y}\arctan(\frac{y}{a}) - \frac{y}{a}\arctan(\frac{a}{y})$

$\lim_{y \to 0} f(a, y) = \lim_{y \to 0} [\frac{a}{y}\arctan(\frac{y}{a}) - \frac{y}{a}\arctan(\frac{a}{y})]$

$\lim_{y \to 0} \frac{a}{y}\arctan(\frac{y}{a}) = a \lim_{y \to 0} \frac{1}{y}(\frac{y}{a} - \frac{1}{3}(\frac{y}{a})^3 + \cdots) = a \lim_{y \to 0} \frac{1}{y}(\frac{y}{a}) = 1$

$\lim_{y \to 0} \frac{y}{a}\arctan(\frac{a}{y}) = \frac{0}{a}\arctan(\pm\infty) = 0 \cdot (\pm\frac{\pi}{2}) = 0$

よって、$\lim_{y \to 0} f(a, y) = 1 - 0 = 1$

(2) 偏微分の計算

$g(x, y) = xyf(x, y)$

$g(x,y) = xy [\frac{x}{y}\arctan(\frac{y}{x}) - \frac{y}{x}\arctan(\frac{x}{y})] = x^2\arctan(\frac{y}{x}) - y^2\arctan(\frac{x}{y})$ (ただし、$xy\neq 0$)

$g(x,y) = 0$ ($xy=0$のとき)

$\frac{\partial g}{\partial y} = x^2 \frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{1}{x} - 2y\arctan(\frac{x}{y}) - y^2 \frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2} (-\frac{x}{y^2}) = \frac{x^3}{x^2+y^2} - 2y\arctan(\frac{x}{y}) + \frac{x y^2}{x^2+y^2}$

$\frac{\partial g}{\partial y}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(0, h) - g(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$\frac{\partial g}{\partial x} = 2x \arctan(\frac{y}{x}) + x^2 \frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2} (-\frac{y}{x^2}) - y^2 \frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2} \frac{1}{y} = 2x\arctan(\frac{y}{x}) - \frac{x^2y}{x^2+y^2} - \frac{y^3}{x^2+y^2}$

$\frac{\partial g}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h, 0) - g(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial g}{\partial y}(h, 0) - \frac{\partial g}{\partial y}(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^3}{h^2+0} - 2(0)\arctan(\frac{h}{0}) + \frac{h \cdot 0}{h^2+0} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h-0+0-0}{h} = 1$

$\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial g}{\partial x}(0, h) - \frac{\partial g}{\partial x}(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2(0)\arctan(\frac{h}{0}) - \frac{0 \cdot h}{0+h^2} - \frac{h^3}{0+h^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0 - h - 0}{h} = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x\to 0} f(x, a) = -1$

$\lim_{y\to 0} f(a, y) = 1$

(2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0) = 1$

$\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0) = -1$