$E = \{(x, y) : (x, y) \in \mathbb{R}^2, x^2 + y^2 \le 1\}$とする。$f: E \rightarrow \mathbb{R}$ を $E$ 上の連続関数とし、$f$ の $E$ での最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$m < M$ であるとする。このとき、$m < r < M$ を満たす任意の実数 $r$ に対して、$f(a, b) = r$ を満たす $(a, b) \in E$ が存在することを示せ。

1. 問題の内容

$E = \{(x, y) : (x, y) \in \mathbb{R}^2, x^2 + y^2 \le 1\}$とする。$f: E \rightarrow \mathbb{R}$ を $E$ 上の連続関数とし、$f$ の $E$ での最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$m < M$ であるとする。このとき、$m < r < M$ を満たす任意の実数 $r$ に対して、$f(a, b) = r$ を満たす $(a, b) \in E$ が存在することを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 最大値 $M$ と最小値 $m$ の定義より、$f(x_1, y_1) = M$ となる $(x_1, y_1) \in E$ と、$f(x_2, y_2) = m$ となる $(x_2, y_2) \in E$ が存在する。

(2) $m < r < M$ である $r$ を任意に選ぶ。

(3) 2点 $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ を結ぶ線分 $L$ を考える。この線分は $E$ に含まれるとは限らない。

(4) そこで、$(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ を結ぶ $E$ 内の連続なパス $C$ を構成する。具体的には、原点 $(0,0)$ を経由するパスを考える。$(x_1, y_1)$ と $(0,0)$ を結ぶ線分 $C_1$ と、$(0,0)$ と $(x_2, y_2)$ を結ぶ線分 $C_2$ を考える。$x^2 + y^2 \le 1$ なので、原点と $E$ 内の任意の点を結ぶ線分は $E$ に含まれる。したがって、$C_1$ と $C_2$ は $E$ に含まれ、その結合である $C = C_1 \cup C_2$ は $(x_1, y_1)$ から $(x_2, y_2)$ への $E$ 内の連続なパスになる。

(5) $C$ をパラメータ表示する。$C_1$ 上の点は $t(0,0) + (1-t)(x_1, y_1) = ((1-t)x_1, (1-t)y_1)$ (ただし $0 \le t \le 1$)、 $C_2$ 上の点は $t(x_2, y_2) + (1-t)(0,0) = (tx_2, ty_2)$ (ただし $0 \le t \le 1$) と表せる。

(6) 関数 $g(t)$ を、$g(t) = f((1-t)x_1, (1-t)y_1)$ (ただし $0 \le t \le 1$) と $g(t) = f((t-1)x_2, (t-1)y_2)$ (ただし $1 \le t \le 2$) で定義する。関数 $g(t)$ は $f$ の連続性より連続関数である。

(7) $g(0) = f(x_1, y_1) = M$ であり、$g(1) = f(0, 0)$ であり、$g(2) = f(x_2, y_2) = m$ である。

(8) $f(0,0)$ について場合分けをする。

(9) (a) $f(0,0) = r$ ならば、$f(0, 0) = r$ である $(0, 0) \in E$ が存在することを示せた。

(10) (b) $f(0,0) > r$ ならば、$M > f(0,0) > r > m$ である。このとき、$g(0) = M > r$ かつ $g(2) = m < r$ であるから、中間値の定理より、$g(t) = r$ となる $t \in (0, 2)$ が存在する。$0 < t < 1$ なら、$f((1-t)x_1, (1-t)y_1) = r$ となる $((1-t)x_1, (1-t)y_1) \in E$ が存在し、$1 < t < 2$ なら、$f((t-1)x_2, (t-1)y_2) = r$ となる $((t-1)x_2, (t-1)y_2) \in E$ が存在する。

(11) (c) $f(0,0) < r$ ならば、$M > r > f(0,0) > m$ である。このとき、$g(0) = M > r$ かつ $g(2) = m < r$ であるから、中間値の定理より、$g(t) = r$ となる $t \in (0, 2)$ が存在する。$0 < t < 1$ なら、$f((1-t)x_1, (1-t)y_1) = r$ となる $((1-t)x_1, (1-t)y_1) \in E$ が存在し、$1 < t < 2$ なら、$f((t-1)x_2, (t-1)y_2) = r$ となる $((t-1)x_2, (t-1)y_2) \in E$ が存在する。

(12) したがって、$m < r < M$ を満たす任意の実数 $r$ に対して、$f(a, b) = r$ を満たす $(a, b) \in E$ が存在する。

3. 最終的な答え

$m < r < M$ を満たす任意の実数 $r$ に対して、$f(a, b) = r$ を満たす $(a, b) \in E$ が存在する。