与えられた2階線形非同次微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 2y = 2e^x$ の一般解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式

$\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 2y = 2e^x$

の一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式の解を求め、次に非同次方程式の特殊解を求めます。最後に、同次方程式の一般解と特殊解を足し合わせて、非同次方程式の一般解を求めます。

(1) 同次方程式の解を求める。

同次方程式は

$\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$

です。特性方程式は

$r^2 + 2r + 2 = 0$

です。これを解くと

$r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i$

となります。したがって、同次方程式の一般解は

$y_h(x) = c_1e^{-x}\cos(x) + c_2e^{-x}\sin(x)$

となります。ここで、$c_1$と$c_2$は任意定数です。

(2) 非同次方程式の特殊解を求める。

非同次項が$2e^x$であるため、特殊解を$y_p(x) = Ae^x$と仮定します。これを微分すると

$\frac{dy_p}{dx} = Ae^x$

$\frac{d^2y_p}{dx^2} = Ae^x$

となります。これらを元の微分方程式に代入すると

$Ae^x + 2Ae^x + 2Ae^x = 2e^x$

$5Ae^x = 2e^x$

$5A = 2$

$A = \frac{2}{5}$

したがって、特殊解は

$y_p(x) = \frac{2}{5}e^x$

となります。

(3) 一般解を求める。

一般解は同次方程式の一般解と特殊解を足し合わせたものです。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1e^{-x}\cos(x) + c_2e^{-x}\sin(x) + \frac{2}{5}e^x$

3. 最終的な答え

$y = c_1e^{-x}\cos(x) + c_2e^{-x}\sin(x) + \frac{2}{5}e^x$