与えられた関数の極限を求める問題です。具体的には、$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a-2h)}{h}$ を計算します。ここで、$f(x)$ は微分可能な関数と仮定します。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限を求める問題です。具体的には、$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a-2h)}{h}$ を計算します。ここで、$f(x)$ は微分可能な関数と仮定します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、微分の定義を利用します。微分の定義は $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ です。与えられた式を微分の定義の形に近づけるために、分子を以下のように変形します。

$f(a+3h) - f(a-2h) = f(a+3h) - f(a) + f(a) - f(a-2h)$

この式を与えられた極限に代入すると、

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a-2h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a) + f(a) - f(a-2h)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(a+3h) - f(a)}{h} + \frac{f(a) - f(a-2h)}{h} \right)$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-2h)}{h}$

ここで、$f(a+3h) - f(a)$ の分母を $3h$ にするために、分子分母に3をかけます。同様に、$f(a) - f(a-2h)$ の分母を $-2h$ にするために、分子分母に2をかけます。

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a)}{3h} \cdot 3 + \lim_{h \to 0} \frac{f(a - 2h) - f(a)}{-2h} \cdot 2$

$= 3 \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - f(a)}{3h} + 2 \lim_{h \to 0} \frac{f(a - 2h) - f(a)}{-2h}$

ここで、$h \to 0$ のとき、$3h \to 0$ および $-2h \to 0$ なので、微分の定義より、

$= 3f'(a) + 2f'(a)$

$= 5f'(a)$

3. 最終的な答え

$5f'(a)$