定積分 $\int_1^2 (x + \frac{3}{x^2}) dx$ を計算します。

## 問題1

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^2 (x + \frac{3}{x^2}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int (x + \frac{3}{x^2}) dx = \int (x + 3x^{-2}) dx$

$= \frac{x^2}{2} + 3\frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{x^2}{2} - \frac{3}{x} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_1^2 (x + \frac{3}{x^2}) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{3}{x}]_1^2$

$= (\frac{2^2}{2} - \frac{3}{2}) - (\frac{1^2}{2} - \frac{3}{1})$

$= (2 - \frac{3}{2}) - (\frac{1}{2} - 3)$

$= \frac{1}{2} - (-\frac{5}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

3. 最終的な答え

$\int_1^2 (x + \frac{3}{x^2}) dx = 3$

## 問題2

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} (\sin x + \sqrt{3} \cos x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int (\sin x + \sqrt{3} \cos x) dx = -\cos x + \sqrt{3} \sin x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} (\sin x + \sqrt{3} \cos x) dx = [-\cos x + \sqrt{3} \sin x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}$

$= (-\cos(\frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{6})) - (-\cos(\frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{3}))$

$= (-\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

$= (-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{1}{2} + \frac{3}{2})$

$= 0 - (\frac{2}{2}) = -1$

3. 最終的な答え

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} (\sin x + \sqrt{3} \cos x) dx = -1$

## 問題3

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} (\sin x + \sqrt{3} \cos x) dx$ を、三角関数を合成して計算します。

2. 解き方の手順

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{3}) \cos x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} (\sin x + \sqrt{3} \cos x) dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) dx$

$= [-2 \cos(x + \frac{\pi}{3})]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}$

$= -2 \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) - (-2 \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}))$

$= -2 \cos(\frac{\pi}{2}) + 2 \cos(\frac{2\pi}{3})$

$= -2(0) + 2(-\frac{1}{2}) = -1$

3. 最終的な答え

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} (\sin x + \sqrt{3} \cos x) dx = -1$