関数 $f(x) = x^3 + 3x + 1$ において、$x$ が $-1$ から $2$ まで変化するときの平均変化率を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3x + 1$ において、$x$ が $-1$ から $2$ まで変化するときの平均変化率を求める。

2. 解き方の手順

平均変化率は、変化量に対する関数の変化量の割合で定義されます。具体的には、以下の式で計算されます。

平均変化率 = $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

ここで、$x_1 = -1$、$x_2 = 2$ です。

まず、$f(-1)$ と $f(2)$ を計算します。

$f(-1) = (-1)^3 + 3(-1) + 1 = -1 - 3 + 1 = -3$

$f(2) = (2)^3 + 3(2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$

次に、平均変化率の式にこれらの値を代入します。

平均変化率 = $\frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{15 - (-3)}{2 + 1} = \frac{15 + 3}{3} = \frac{18}{3}$

最後に、この値を計算します。

平均変化率 = $6$

3. 最終的な答え

6