座標空間の $1 \le z \le 2$ の部分に存在する立体 $R$ がある。立体 $R$ を平面 $z=t$ ($1 \le t \le 2$) で切ったときの断面が、不等式 $\begin{cases} z = t \\ x^2 + y^2 \ge t^2 \\ x^2 + y^2 \le 4 \end{cases}$ で表されるとき、立体の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間の $1 \le z \le 2$ の部分に存在する立体 $R$ がある。立体 $R$ を平面 $z=t$ ($1 \le t \le 2$) で切ったときの断面が、不等式

$\begin{cases}

z = t \\

x^2 + y^2 \ge t^2 \\

x^2 + y^2 \le 4

\end{cases}$

で表されるとき、立体の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

平面 $z=t$ での断面は、半径2の円から半径 $t$ の円をくり抜いた形をしている。この断面の面積を $S(t)$ とすると、

$S(t) = \pi(2^2) - \pi(t^2) = 4\pi - \pi t^2 = \pi(4-t^2)$

となる。

立体の体積 $V$ は、この断面積 $S(t)$ を $z$ の範囲 $1 \le z \le 2$ で積分することで求められる。

$V = \int_{1}^{2} S(t) dt = \int_{1}^{2} \pi(4-t^2) dt = \pi \int_{1}^{2} (4-t^2) dt$

積分を実行すると、

$\int_{1}^{2} (4-t^2) dt = \left[4t - \frac{1}{3}t^3\right]_{1}^{2} = \left(4(2) - \frac{1}{3}(2^3)\right) - \left(4(1) - \frac{1}{3}(1^3)\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(4 - \frac{1}{3}\right) = 8 - \frac{8}{3} - 4 + \frac{1}{3} = 4 - \frac{7}{3} = \frac{12-7}{3} = \frac{5}{3}$

したがって、体積 $V$ は、

$V = \pi \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{3}\pi$