以下の3つの極限を求めます。 (1) $\lim_{x\to\infty} 2^{-3x}$ (2) $\lim_{x\to\infty} 3^{-2x}$ (3) $\lim_{x\to\infty} \log_2{\frac{4x-1}{x+2}}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x\to\infty} 2^{-3x}$

(2) $\lim_{x\to\infty} 3^{-2x}$

(3) $\lim_{x\to\infty} \log_2{\frac{4x-1}{x+2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to\infty} 2^{-3x}$

$2^{-3x} = \frac{1}{2^{3x}} = \frac{1}{8^x}$と変形できます。

$x$が無限大に近づくとき、$8^x$も無限大に近づくため、$\frac{1}{8^x}$は0に近づきます。

(2) $\lim_{x\to\infty} 3^{-2x}$

$3^{-2x} = \frac{1}{3^{2x}} = \frac{1}{9^x}$と変形できます。

$x$が無限大に近づくとき、$9^x$も無限大に近づくため、$\frac{1}{9^x}$は0に近づきます。

(3) $\lim_{x\to\infty} \log_2{\frac{4x-1}{x+2}}$

まず、$\lim_{x\to\infty} \frac{4x-1}{x+2}$を計算します。

$\frac{4x-1}{x+2} = \frac{4 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$と変形できます。

$x$が無限大に近づくとき、$\frac{1}{x}$と$\frac{2}{x}$は0に近づくため、$\lim_{x\to\infty} \frac{4x-1}{x+2} = \frac{4}{1} = 4$となります。

したがって、$\lim_{x\to\infty} \log_2{\frac{4x-1}{x+2}} = \log_2{4} = 2$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x\to\infty} 2^{-3x} = 0$

(2) $\lim_{x\to\infty} 3^{-2x} = 0$

(3) $\lim_{x\to\infty} \log_2{\frac{4x-1}{x+2}} = 2$