関数 $f(x) = \sqrt{x}$ について、微分係数 $f'(1)$と$f'(2)$を定義に従って求める問題です。

解析学微分微分係数極限関数の微分
2025/7/7

1. 問題の内容

関数 f(x)=xf(x) = \sqrt{x} について、微分係数 f(1)f'(1)f(2)f'(2)を定義に従って求める問題です。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は以下の通りです。
f(a)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
(1) f(1)f'(1) を求める
f(x)=xf(x) = \sqrt{x} であるから、f(1)=1=1f(1) = \sqrt{1} = 1f(1+h)=1+hf(1+h) = \sqrt{1+h} です。
微分係数の定義に従って計算します。
f(1)=limh0f(1+h)f(1)h=limh01+h1hf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h}
この極限を求めるために、分子を有理化します。
limh01+h1h=limh0(1+h1)(1+h+1)h(1+h+1)\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{1+h} - 1)(\sqrt{1+h} + 1)}{h(\sqrt{1+h} + 1)}
=limh0(1+h)1h(1+h+1)=limh0hh(1+h+1)= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) - 1}{h(\sqrt{1+h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{1+h} + 1)}
=limh011+h+1= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+h} + 1}
h0h \to 0 のとき、1+h1+0=1\sqrt{1+h} \to \sqrt{1+0} = 1 であるから、
f(1)=11+1=12f'(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}
(2) f(2)f'(2) を求める
f(x)=xf(x) = \sqrt{x} であるから、f(2)=2f(2) = \sqrt{2}f(2+h)=2+hf(2+h) = \sqrt{2+h} です。
微分係数の定義に従って計算します。
f(2)=limh0f(2+h)f(2)h=limh02+h2hf'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2+h} - \sqrt{2}}{h}
この極限を求めるために、分子を有理化します。
limh02+h2h=limh0(2+h2)(2+h+2)h(2+h+2)\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2+h} - \sqrt{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{2+h} - \sqrt{2})(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})}{h(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})}
=limh0(2+h)2h(2+h+2)=limh0hh(2+h+2)= \lim_{h \to 0} \frac{(2+h) - 2}{h(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})}
=limh012+h+2= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{2+h} + \sqrt{2}}
h0h \to 0 のとき、2+h2+0=2\sqrt{2+h} \to \sqrt{2+0} = \sqrt{2} であるから、
f(2)=12+2=122=24f'(2) = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}

3. 最終的な答え

(1) f(1)=12f'(1) = \frac{1}{2}
(2) f(2)=24f'(2) = \frac{\sqrt{2}}{4}

「解析学」の関連問題

以下の2つの関数を微分する問題です。 (1) $xe^x$ (2) $\sin(x^2+1)$

微分積の微分合成関数の微分指数関数三角関数
2025/7/7

2つの定積分の値を求める問題です。 (1) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx$ (2) $\int_1^\infty \frac{1}{x\sqrt{x-1}}...

定積分置換積分積分計算
2025/7/7

(1) $(\frac{2}{5})^{\frac{2}{5}}$ と $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}$ の大小を比較する。 (2) $4^{\frac{5}{6}}$, $...

大小比較指数関数対数関数関数の増減
2025/7/7

(1) $n$ を2以上の自然数とするとき、関数 $\frac{\cos x}{\sin^n x}$ の導関数を求めよ。 (2) 不定積分 $\int \frac{dx}{\sin x}$ を求めよ。...

微分不定積分部分積分定積分三角関数
2025/7/7

以下の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(\tan^{-1} x)}{1 + x^2} dx$

定積分置換積分三角関数双曲線関数
2025/7/7

関数 $g(x) = 8\sin^2 x + 2\cos^2 x + 6\sqrt{3} \sin x \cos x$ について、$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi...

三角関数最大値最小値合成三角関数の合成
2025/7/7

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ 、区間 $x=0$ から $x=1$ 、y軸で囲まれた図形Aの面積の近似値を、以下の3つの方法で求める問題です。 (1) 区間を10等分し、各区...

積分数値積分リーマン和台形近似面積
2025/7/7

与えられた3つの広義積分の値を計算します。 (1) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$ (4) $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx...

積分広義積分部分積分部分分数分解
2025/7/7

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ と $x=0$, $x=1$, $x$軸で囲まれた図形Aの面積の近似値を、以下の3つの方法で求める。 (1) 区間 [0, 1] を10等分し、...

積分面積近似リーマン和台形公式
2025/7/7

次の広義積分を計算し、$\alpha$ の値によって結果が異なることを示す問題です。 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \begin{cases...

広義積分積分極限場合分け
2025/7/7