関数 $f(x) = \sqrt{x}$ について、微分係数 $f'(1)$と$f'(2)$を定義に従って求める問題です。解析学微分微分係数極限関数の微分2025/7/71. 問題の内容関数 f(x)=xf(x) = \sqrt{x}f(x)=x について、微分係数 f′(1)f'(1)f′(1)とf′(2)f'(2)f′(2)を定義に従って求める問題です。2. 解き方の手順微分係数の定義は以下の通りです。f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}f′(a)=limh→0hf(a+h)−f(a)(1) f′(1)f'(1)f′(1) を求めるf(x)=xf(x) = \sqrt{x}f(x)=x であるから、f(1)=1=1f(1) = \sqrt{1} = 1f(1)=1=1、f(1+h)=1+hf(1+h) = \sqrt{1+h}f(1+h)=1+h です。微分係数の定義に従って計算します。f′(1)=limh→0f(1+h)−f(1)h=limh→01+h−1hf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h}f′(1)=limh→0hf(1+h)−f(1)=limh→0h1+h−1この極限を求めるために、分子を有理化します。limh→01+h−1h=limh→0(1+h−1)(1+h+1)h(1+h+1)\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{1+h} - 1)(\sqrt{1+h} + 1)}{h(\sqrt{1+h} + 1)}limh→0h1+h−1=limh→0h(1+h+1)(1+h−1)(1+h+1)=limh→0(1+h)−1h(1+h+1)=limh→0hh(1+h+1)= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) - 1}{h(\sqrt{1+h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{1+h} + 1)}=limh→0h(1+h+1)(1+h)−1=limh→0h(1+h+1)h=limh→011+h+1= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+h} + 1}=limh→01+h+11h→0h \to 0h→0 のとき、1+h→1+0=1\sqrt{1+h} \to \sqrt{1+0} = 11+h→1+0=1 であるから、f′(1)=11+1=12f'(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}f′(1)=1+11=21(2) f′(2)f'(2)f′(2) を求めるf(x)=xf(x) = \sqrt{x}f(x)=x であるから、f(2)=2f(2) = \sqrt{2}f(2)=2、f(2+h)=2+hf(2+h) = \sqrt{2+h}f(2+h)=2+h です。微分係数の定義に従って計算します。f′(2)=limh→0f(2+h)−f(2)h=limh→02+h−2hf'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2+h} - \sqrt{2}}{h}f′(2)=limh→0hf(2+h)−f(2)=limh→0h2+h−2この極限を求めるために、分子を有理化します。limh→02+h−2h=limh→0(2+h−2)(2+h+2)h(2+h+2)\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2+h} - \sqrt{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{2+h} - \sqrt{2})(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})}{h(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})}limh→0h2+h−2=limh→0h(2+h+2)(2+h−2)(2+h+2)=limh→0(2+h)−2h(2+h+2)=limh→0hh(2+h+2)= \lim_{h \to 0} \frac{(2+h) - 2}{h(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})}=limh→0h(2+h+2)(2+h)−2=limh→0h(2+h+2)h=limh→012+h+2= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{2+h} + \sqrt{2}}=limh→02+h+21h→0h \to 0h→0 のとき、2+h→2+0=2\sqrt{2+h} \to \sqrt{2+0} = \sqrt{2}2+h→2+0=2 であるから、f′(2)=12+2=122=24f'(2) = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}f′(2)=2+21=221=423. 最終的な答え(1) f′(1)=12f'(1) = \frac{1}{2}f′(1)=21(2) f′(2)=24f'(2) = \frac{\sqrt{2}}{4}f′(2)=42