以下の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(\tan^{-1} x)}{1 + x^2} dx$

## (1) の問題

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(\tan^{-1} x)}{1 + x^2} dx$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = \tan^{-1} x$ とおくと、$du = \frac{1}{1 + x^2} dx$ となります。

また、$x = 0$ のとき $u = \tan^{-1} 0 = 0$ であり、$x \to \infty$ のとき $u \to \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(\tan^{-1} x)}{1 + x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos u \, du$

$\cos u$ の積分は $\sin u$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos u \, du = [\sin u]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

1

## (3) の問題

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\cosh x} dx$

2. 解き方の手順

双曲線関数 $\cosh x$ の定義は $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\cosh x} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{2}{e^x + e^{-x}} dx$

ここで、$e^{-x}$ を分子と分母にかけると、

$\int_{0}^{\infty} \frac{2e^{-x}}{1 + e^{-2x}} dx$

次に、置換積分を行います。

$u = e^{-x}$ とおくと、$du = -e^{-x} dx$ となります。

また、$x = 0$ のとき $u = e^0 = 1$ であり、$x \to \infty$ のとき $u \to 0$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{2e^{-x}}{1 + e^{-2x}} dx = \int_{1}^{0} \frac{-2}{1 + u^2} du = 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u^2} du$

$\frac{1}{1 + u^2}$ の積分は $\tan^{-1} u$ なので、

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u^2} du = 2 [\tan^{-1} u]_{0}^{1} = 2 (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1} 0) = 2 (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$