(1) 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$ の第n部分和 $S_n$ を求め、収束・発散を調べ、収束する場合はその値を求める。ヒントとして $\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} = ?$ が与えられている。 (2) 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln(1+\frac{1}{n})$ の収束・発散を調べる。

1. 問題の内容

(1) 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$ の第n部分和 $S_n$ を求め、収束・発散を調べ、収束する場合はその値を求める。ヒントとして $\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} = ?$ が与えられている。

(2) 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln(1+\frac{1}{n})$ の収束・発散を調べる。

2. 解き方の手順

(1)

まず、ヒントの式を計算する。

$\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{ (n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{n}{(n+1)!}$

したがって、$\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$ が成り立つ。

この結果を利用して、第n部分和 $S_n$ を計算する。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} \right)$

$= \left(\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} \right) + \left(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \cdots + \left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \right)$

これはtelescoping sumであり、途中が相殺される。

$S_n = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$

次に、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を計算する。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{(n+1)!} \right) = 1 - 0 = 1$

したがって、級数は収束し、その値は1である。

(2)

$\sum_{n=1}^{\infty} \ln(1+\frac{1}{n}) = \sum_{n=1}^{\infty} \ln(\frac{n+1}{n}) = \sum_{n=1}^{\infty} (\ln(n+1) - \ln(n))$

第n部分和 $S_n$ は

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (\ln(k+1) - \ln(k)) = (\ln(2) - \ln(1)) + (\ln(3) - \ln(2)) + \cdots + (\ln(n+1) - \ln(n))$

これもtelescoping sumである。

$S_n = \ln(n+1) - \ln(1) = \ln(n+1)$

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \ln(n+1) = \infty$

したがって、級数は発散する。

3. 最終的な答え

(1) 第n部分和：$S_n = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$、収束し、その値は1。

(2) 発散する。