問題は、積分 $I_n = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^n}$ を定義し、$I_1$ が与えられたときに、$I_{n+1}$ を $I_n$ を用いて表す漸化式が与えられている。 具体的には、 $I_1 = \frac{1}{2ab} \log \left| \frac{at-b}{at+b} \right|$ および $I_{n+1} = \frac{1}{2nb^2} \frac{-t}{(a^2t^2 - b^2)^n} + \frac{1-2n}{2nb^2} I_n$ が与えられている。

1. 問題の内容

問題は、積分 $I_n = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^n}$ を定義し、$I_1$ が与えられたときに、$I_{n+1}$ を $I_n$ を用いて表す漸化式が与えられている。

具体的には、

$I_1 = \frac{1}{2ab} \log \left| \frac{at-b}{at+b} \right|$

および

$I_{n+1} = \frac{1}{2nb^2} \frac{-t}{(a^2t^2 - b^2)^n} + \frac{1-2n}{2nb^2} I_n$

が与えられている。

2. 解き方の手順

問題文に $I_1$ と $I_{n+1}$ の漸化式が与えられているので、それらを利用して特定の $n$ に対する $I_n$ を求めることができる。

例えば、$I_2$ は $I_1$ を使って、$I_3$ は $I_2$ を使って求めることができる。

3. 最終的な答え

問題文には特定の $n$ に対する $I_n$ を求める指示はないため、与えられた $I_1$ と $I_{n+1}$ の漸化式が最終的な答えとなる。

$I_1 = \frac{1}{2ab} \log \left| \frac{at-b}{at+b} \right|$

$I_{n+1} = \frac{1}{2nb^2} \frac{-t}{(a^2t^2 - b^2)^n} + \frac{1-2n}{2nb^2} I_n$