関数 $f(x) = x(x-3)(x-4)$ について、 (1) $x=0$ から $x=2$ までの平均変化率を求めよ。 (2) その平均変化率と等しい微分係数を持つ $f(x)$ の $x$ の値を求めよ。ただし、$0 < x < 2$ とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(x-3)(x-4)$ について、

(1) $x=0$ から $x=2$ までの平均変化率を求めよ。

(2) その平均変化率と等しい微分係数を持つ $f(x)$ の $x$ の値を求めよ。ただし、$0 < x < 2$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 平均変化率の計算

平均変化率は、$\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}$ で計算できます。

$f(x) = x(x-3)(x-4) = x(x^2 - 7x + 12) = x^3 - 7x^2 + 12x$

$f(0) = 0^3 - 7(0)^2 + 12(0) = 0$

$f(2) = 2^3 - 7(2)^2 + 12(2) = 8 - 28 + 24 = 4$

平均変化率 = $\frac{4 - 0}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$

(2) 微分係数と平均値の定理

$f'(x)$を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 14x + 12$

平均値の定理より、$0 < c < 2$ の範囲で、$f'(c) = 2$ となる $c$ が存在します。

$3c^2 - 14c + 12 = 2$

$3c^2 - 14c + 10 = 0$

この二次方程式を解きます。

$c = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(3)(10)}}{2(3)} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{6} = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{6} = \frac{14 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

$c_1 = \frac{7 + \sqrt{19}}{3} \approx \frac{7 + 4.36}{3} \approx \frac{11.36}{3} \approx 3.79 > 2$

$c_2 = \frac{7 - \sqrt{19}}{3} \approx \frac{7 - 4.36}{3} \approx \frac{2.64}{3} \approx 0.88$

$0 < c < 2$ を満たすのは $c_2 = \frac{7 - \sqrt{19}}{3}$ です。

3. 最終的な答え

平均変化率: 2

$x$ の値: $\frac{7 - \sqrt{19}}{3}$