3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=2$ で $x$ 軸に接し、原点における接線の方程式が $y = -2x$ であるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=2$ で $x$ 軸に接し、原点における接線の方程式が $y = -2x$ であるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=2$ で $x$ 軸に接するという条件から、$y(2) = 0$ かつ $y'(2) = 0$ が成り立つ。

(2) 原点における接線が $y = -2x$ であるという条件から、$y(0) = 0$ かつ $y'(0) = -2$ が成り立つ。

(3) $y(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ より、$y'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ である。

(4) まず、$y(0) = 0$ より、$a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 0$ なので、$d = 0$。

(5) 次に、$y'(0) = -2$ より、$3a(0)^2 + 2b(0) + c = -2$ なので、$c = -2$。

(6) $x=2$ で $x$ 軸に接することから、$y(2) = 0$ より、$8a + 4b + 2c + d = 0$ であり、$y'(2) = 0$ より、$12a + 4b + c = 0$ である。

(7) (4)と(5)の結果を使うと、$8a + 4b + 2(-2) + 0 = 0$ より、$8a + 4b = 4$。これを整理して、$2a + b = 1$。

(8) また、$12a + 4b + (-2) = 0$ より、$12a + 4b = 2$。これを整理して、$6a + 2b = 1$。

(9) (7)の式から $b = 1 - 2a$ となる。(8)の式に代入すると、$6a + 2(1 - 2a) = 1$ となる。

(10) これを解くと、$6a + 2 - 4a = 1$ より、$2a = -1$。よって、$a = -\frac{1}{2}$。

(11) (9)に代入すると、$b = 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{2}$, $b = 2$, $c = -2$, $d = 0$