与えられた積分 $I_n$ と、その漸化式、$I_1$ の値を求める問題です。 $I_n = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^n}$ と定義され、$I_1 = \frac{1}{2ab} \log |\frac{at-b}{at+b}|$、および $I_{n+1} = \frac{1}{2nb^2} \frac{-t}{(a^2t^2 - b^2)^n} + \frac{1-2n}{2nb^2} I_n$ が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた積分 $I_n$ と、その漸化式、$I_1$ の値を求める問題です。

$I_n = \int \frac{dt}{(a^2t^2 - b^2)^n}$ と定義され、$I_1 = \frac{1}{2ab} \log |\frac{at-b}{at+b}|$、および $I_{n+1} = \frac{1}{2nb^2} \frac{-t}{(a^2t^2 - b^2)^n} + \frac{1-2n}{2nb^2} I_n$ が与えられています。

2. 解き方の手順

問題文に$I_1$と$I_{n+1}$が与えられているので、解く必要はありません。

与えられた式をそのまま書き出します。

3. 最終的な答え

$I_1 = \frac{1}{2ab} \log |\frac{at-b}{at+b}|$

$I_{n+1} = \frac{1}{2nb^2} \frac{-t}{(a^2t^2 - b^2)^n} + \frac{1-2n}{2nb^2} I_n$