曲線 $y = \frac{1}{x}$ ($x > 0$) を $C$ とする。$C$ 上の点 $(t, \frac{1}{t})$ における接線の方程式を $y = ax + b$ とする。 (1) $a, b$ を $t$ の式で表せ。 (2) $I = \int_1^2 (ax + b) dx$ とおくとき、$I$ の最大値を求めよ。 (3) $\log_e 2 > \frac{2}{3}$ を示せ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{x}$ ($x > 0$) を $C$ とする。$C$ 上の点 $(t, \frac{1}{t})$ における接線の方程式を $y = ax + b$ とする。

(1) $a, b$ を $t$ の式で表せ。

(2) $I = \int_1^2 (ax + b) dx$ とおくとき、$I$ の最大値を求めよ。

(3) $\log_e 2 > \frac{2}{3}$ を示せ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x}$ の導関数は $y' = -\frac{1}{x^2}$ である。

点 $(t, \frac{1}{t})$ における接線の傾きは $a = -\frac{1}{t^2}$ である。

接線の方程式は、

$y - \frac{1}{t} = -\frac{1}{t^2}(x - t)$

$y = -\frac{1}{t^2}x + \frac{1}{t} + \frac{1}{t}$

$y = -\frac{1}{t^2}x + \frac{2}{t}$

したがって、$a = -\frac{1}{t^2}, b = \frac{2}{t}$ である。

(2) $I = \int_1^2 (ax + b) dx = \int_1^2 (-\frac{1}{t^2}x + \frac{2}{t}) dx$

$I = [-\frac{1}{2t^2}x^2 + \frac{2}{t}x]_1^2 = (-\frac{4}{2t^2} + \frac{4}{t}) - (-\frac{1}{2t^2} + \frac{2}{t})$

$I = -\frac{2}{t^2} + \frac{4}{t} + \frac{1}{2t^2} - \frac{2}{t} = -\frac{3}{2t^2} + \frac{2}{t}$

$I = -\frac{3}{2} (\frac{1}{t^2} - \frac{4}{3t})$

$I = -\frac{3}{2} ((\frac{1}{t} - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9})$

$I = -\frac{3}{2} (\frac{1}{t} - \frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3}$

$I$ は $\frac{1}{t} = \frac{2}{3}$ すなわち $t = \frac{3}{2}$ のとき最大値 $\frac{2}{3}$ をとる。

(3)

$f(x)=\frac{1}{x}$ について，$x=1$ から $x=2$ までの積分を考える。

$I = \int_1^2 f(x)dx=\int_1^2 \frac{1}{x}dx=[\log_e x]_1^2 = \log_e 2 - \log_e 1 = \log_e 2$.

(2)より、$I$ の最大値は$\frac{2}{3}$であり、$t=\frac{3}{2}$のときであった。

よって、$\int_1^2 (ax+b)dx = \log_e 2 \leq \frac{2}{3}$ が成り立っていれば、

$\log_e 2 \leq \frac{2}{3}$が成り立つ。しかし,この不等号は正しくない。

$\log_e 2 < \frac{2}{3}$ではないことを示すには,

$\int_1^2\frac{1}{x} dx > \int_1^2 (ax+b)dx$ を示す必要がある.

$t=3/2$ において, $a=-\frac{1}{t^2}=-\frac{4}{9}$ と $b = \frac{2}{t} = \frac{4}{3}$

$y=-\frac{4}{9}x+\frac{4}{3}$ について,区間 $1 \le x \le 2$ で $f(x)=\frac{1}{x}$ と $y$ を比較する。

$f(x) - y = \frac{1}{x} + \frac{4}{9}x - \frac{4}{3} = \frac{4x^2 - 12x + 9}{9x} = \frac{(4x-3)^2}{9x} > 0$

よって、 $\frac{1}{x} > -\frac{4}{9}x + \frac{4}{3}$ が $1 \le x \le 2$ で成立する。

積分区間も $1 \le x \le 2$ であるから

$\log_e 2 = \int_1^2 \frac{1}{x}dx > \int_1^2 (-\frac{4}{9}x + \frac{4}{3})dx = \frac{2}{3}$

したがって、$\log_e 2 > \frac{2}{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{1}{t^2}, b = \frac{2}{t}$

(2) $\frac{2}{3}$

(3) $\log_e 2 > \frac{2}{3}$ (証明終わり)