次の極限を計算する問題です。 $\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h}$

解析学極限微分導関数
2025/7/7

1. 問題の内容

次の極限を計算する問題です。
limh0(x+h)3x3h\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h}

2. 解き方の手順

まず、(x+h)3(x+h)^3 を展開します。
(x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3
次に、与えられた式の分子に (x+h)3(x+h)^3 の展開結果を代入します。
(x+h)3x3=x3+3x2h+3xh2+h3x3=3x2h+3xh2+h3(x+h)^3 - x^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3
したがって、
(x+h)3x3h=3x2h+3xh2+h3h\frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}
hh で割ると、
3x2h+3xh2+h3h=3x2+3xh+h2\frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2
最後に、h0h \to 0 の極限を取ります。
limh0(3x2+3xh+h2)=3x2+3x(0)+(0)2=3x2\lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2 + 3x(0) + (0)^2 = 3x^2

3. 最終的な答え

3x23x^2

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