$\int \log(x^2 + 1) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \log(x^2 + 1) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。

$u = \log(x^2 + 1)$、 $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{2x}{x^2 + 1} dx$、 $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

$\int \log(x^2 + 1) dx = x \log(x^2 + 1) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} dx$

$\int \log(x^2 + 1) dx = x \log(x^2 + 1) - 2 \int \frac{x^2}{x^2 + 1} dx$

ここで、$\int \frac{x^2}{x^2 + 1} dx$ を計算します。

$\frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1} = 1 - \frac{1}{x^2 + 1}$

したがって、

$\int \frac{x^2}{x^2 + 1} dx = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2 + 1} \right) dx = x - \arctan(x) + C$

これを代入すると、

$\int \log(x^2 + 1) dx = x \log(x^2 + 1) - 2(x - \arctan(x)) + C$

$\int \log(x^2 + 1) dx = x \log(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x) + C$

3. 最終的な答え

$x \log(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x) + C$