問題は以下の2つです。 (1) 数列$\{x_n\}$と数列$\{y_n\}$が有界列ならば、数列$\{x_n + y_n\}$と数列$\{x_ny_n\}$も有界列であることを示せ。 (2) 数列$\{x_n\}$と数列$\{y_n\}$が収束列ならば、数列$\{x_n + y_n\}$と数列$\{x_ny_n\}$も収束列であることを示せ。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) 数列$\{x_n\}$と数列$\{y_n\}$が有界列ならば、数列$\{x_n + y_n\}$と数列$\{x_ny_n\}$も有界列であることを示せ。

(2) 数列$\{x_n\}$と数列$\{y_n\}$が収束列ならば、数列$\{x_n + y_n\}$と数列$\{x_ny_n\}$も収束列であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 数列$\{x_n\}$と数列$\{y_n\}$が有界列である場合

数列$\{x_n\}$が有界であるため、ある実数$M_1 > 0$が存在して、すべての$n$に対して$|x_n| \le M_1$が成り立ちます。

同様に、数列$\{y_n\}$が有界であるため、ある実数$M_2 > 0$が存在して、すべての$n$に対して$|y_n| \le M_2$が成り立ちます。

数列$\{x_n + y_n\}$について、三角不等式より

$|x_n + y_n| \le |x_n| + |y_n| \le M_1 + M_2$

したがって、数列$\{x_n + y_n\}$は有界です。

数列$\{x_ny_n\}$について、

$|x_ny_n| = |x_n||y_n| \le M_1M_2$

したがって、数列$\{x_ny_n\}$は有界です。

(2) 数列$\{x_n\}$と数列$\{y_n\}$が収束列である場合

数列$\{x_n\}$が$x$に収束するとし、数列$\{y_n\}$が$y$に収束するとします。すなわち、

$\lim_{n \to \infty} x_n = x$

$\lim_{n \to \infty} y_n = y$

数列$\{x_n + y_n\}$について、収束列の和の性質より

$\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n = x + y$

したがって、数列$\{x_n + y_n\}$は$x+y$に収束します。

数列$\{x_ny_n\}$について、収束列の積の性質より

$\lim_{n \to \infty} (x_ny_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n = xy$

したがって、数列$\{x_ny_n\}$は$xy$に収束します。

3. 最終的な答え

(1) 数列$\{x_n\}$と数列$\{y_n\}$が有界列ならば、数列$\{x_n + y_n\}$と数列$\{x_ny_n\}$も有界列である。

(2) 数列$\{x_n\}$と数列$\{y_n\}$が収束列ならば、数列$\{x_n + y_n\}$と数列$\{x_ny_n\}$も収束列である。