$f(x) = 2x^3 - 3(a+2)x^2 + 12ax$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ が極値を持つときの条件と、その時の極値。 (2) $y = f(x)$ のグラフが $a$ の値に関係なく通る点Aの座標。ただし、原点Oではないとする。 (3) 点Aを(2)で定めた点とするとき、線分OAと $y = f(x)$ のグラフが2点O, A以外に共有点を持つような $a$ の値の範囲。 (4) $x \ge 0$ を満たすすべての実数 $x$ について $f(x) \ge 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲。 (5) $a \ge 3.5$ を満たすすべての実数 $a$ について、方程式 $f(x) = k$ が3つの異なる実数解を持つような実数 $k$ の値の範囲。

1. 問題の内容

$f(x) = 2x^3 - 3(a+2)x^2 + 12ax$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ が極値を持つときの条件と、その時の極値。

(2) $y = f(x)$ のグラフが $a$ の値に関係なく通る点Aの座標。ただし、原点Oではないとする。

(3) 点Aを(2)で定めた点とするとき、線分OAと $y = f(x)$ のグラフが2点O, A以外に共有点を持つような $a$ の値の範囲。

(4) $x \ge 0$ を満たすすべての実数 $x$ について $f(x) \ge 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲。

(5) $a \ge 3.5$ を満たすすべての実数 $a$ について、方程式 $f(x) = k$ が3つの異なる実数解を持つような実数 $k$ の値の範囲。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x) = 6x^2 - 6(a+2)x + 12a = 6(x^2 - (a+2)x + 2a) = 6(x-2)(x-a)$.

$f(x)$ が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要があり、つまり $a \ne 2$。

このとき、$x = 2$ と $x = a$ で極値を持つ。

$f(2) = 2(2^3) - 3(a+2)(2^2) + 12a(2) = 16 - 12(a+2) + 24a = 16 - 12a - 24 + 24a = 12a - 8$.

$f(a) = 2a^3 - 3(a+2)a^2 + 12a^2 = 2a^3 - 3a^3 - 6a^2 + 12a^2 = -a^3 + 6a^2$.

したがって、極値は $12a-8$ と $-a^3+6a^2$ である。

(2) $f(x) = 2x^3 - 3(a+2)x^2 + 12ax = 2x^3 - 3ax^2 - 6x^2 + 12ax = 2x^3 - 6x^2 + a(-3x^2 + 12x)$.

$f(x) = 0$ より $2x^3 - 6x^2 = a(3x^2 - 12x)$.

$3x^2 - 12x = 0$ を解くと $3x(x-4) = 0$ より $x=0, 4$.

$x = 0$ は原点なので、$x=4$ を考える。

$2(4^3) - 6(4^2) = 2(64) - 6(16) = 128 - 96 = 32$.

$a$ の値に関係なく通る点であるためには、$3x^2 - 12x = 0$ が成り立つ必要があり、このとき $2x^3 - 6x^2 = 0$ となる。

$x \ne 0$ より、$x = 4$。

$f(4) = 2(4^3) - 3(a+2)(4^2) + 12a(4) = 128 - 48(a+2) + 48a = 128 - 48a - 96 + 48a = 32$.

よって、点Aの座標は $(4, 32)$.

(3) 直線OAの方程式は $y = \frac{32}{4} x = 8x$.

$f(x) = 8x$ となる $x$ を探す。

$2x^3 - 3(a+2)x^2 + 12ax = 8x$.

$2x^3 - 3(a+2)x^2 + 12ax - 8x = 0$.

$x(2x^2 - 3(a+2)x + 12a - 8) = 0$.

$x=0$ または $2x^2 - 3(a+2)x + 12a - 8 = 0$.

$x=4$ は解なので、$2(4)^2 - 3(a+2)(4) + 12a - 8 = 32 - 12a - 24 + 12a - 8 = 0$.

$2x^2 - 3(a+2)x + 12a - 8 = 2(x-4)(x-c)= 2(x^2 - (4+c)x + 4c)$.

$-3(a+2) = -2(4+c)$, $12a-8=8c$.

$3a+6=8+2c$, $12a-8 = 8c$.

$c = \frac{3a-2}{2}$, $12a-8 = 8(\frac{3a-2}{2}) = 4(3a-2) = 12a - 8$.

つまり、 $x=4$ 以外の解をもつには、 $c \ne 0$ かつ $c \ne 4$ であればよい。

$x=c$ は $x=\frac{3a-2}{2}$.

$c \ne 0$ より $3a - 2 \ne 0$, $a \ne \frac{2}{3}$.

$c \ne 4$ より $\frac{3a-2}{2} \ne 4$, $3a-2 \ne 8$, $3a \ne 10$, $a \ne \frac{10}{3}$.

$a \ne 2$ より、$a < 2$ のとき $2/3 < a < 2$ または $2 < a < 10/3$.

したがって $\frac{2}{3} < a < 2$ または $2 < a < \frac{10}{3}$.

(4) $f(x) \ge 0$ for all $x \ge 0$.

$f(0) = 0$.

$f'(x) = 6(x-2)(x-a)$.

$f(2) = 12a-8$, $f(a) = -a^3 + 6a^2$.

(5) $f(x)=k$ が3つの異なる実数解を持つ。$a \ge 3.5$

3. 最終的な答え

(1) $a \ne 2$ のとき、極値は $12a-8$ と $-a^3+6a^2$

(2) $(4, 32)$

(3) $2/3 < a < 2$, $2 < a < 10/3$

(4)

(5)