$\sin \alpha = \frac{2}{3}$が与えられたとき、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ の範囲で $\cos 3\alpha$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin \alpha = \frac{2}{3}$が与えられたとき、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ の範囲で $\cos 3\alpha$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 3\alpha$ の値を $\sin \alpha$ を用いて計算します。

$\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$ の公式を利用します。

$\sin \alpha = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\sin 3\alpha = 3(\frac{2}{3}) - 4(\frac{2}{3})^3 = 2 - 4(\frac{8}{27}) = 2 - \frac{32}{27} = \frac{54-32}{27} = \frac{22}{27}$ となります。

次に、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ であることから $\cos \alpha < 0$ であることを利用して $\cos \alpha$ を求めます。

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ より、 $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ です。

$\cos \alpha < 0$ なので、$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ となります。

最後に、$\cos 3\alpha$ の値を $\cos \alpha$ を用いて計算します。

$\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$ の公式を利用します。

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ を代入すると、

$\cos 3\alpha = 4(-\frac{\sqrt{5}}{3})^3 - 3(-\frac{\sqrt{5}}{3}) = 4(-\frac{5\sqrt{5}}{27}) + \sqrt{5} = -\frac{20\sqrt{5}}{27} + \frac{27\sqrt{5}}{27} = \frac{7\sqrt{5}}{27}$ となります。

3. 最終的な答え

$\cos 3\alpha = \frac{7\sqrt{5}}{27}$