関数 $y = xe^{-x^2}$ を $x$ について微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-x^2}$ を $x$ について微分する。

2. 解き方の手順

積の微分公式と合成関数の微分公式を使う。

積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ である。

合成関数の微分公式は $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ である。

まず、$u = x$、$v = e^{-x^2}$ とおく。

$u' = \frac{d}{dx}x = 1$

$v' = \frac{d}{dx}e^{-x^2}$

$e^{-x^2}$ を微分するには、合成関数の微分公式を使う。

$f(x) = e^x$、$g(x) = -x^2$ とおく。

$f'(x) = e^x$、$g'(x) = -2x$

$\frac{d}{dx}e^{-x^2} = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

積の微分公式より、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv'$

$\frac{dy}{dx} = (1)e^{-x^2} + x(-2xe^{-x^2})$

$\frac{dy}{dx} = e^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}$

$\frac{dy}{dx} = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (1 - 2x^2)e^{-x^2}$