与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。 $\int \frac{\cos x}{(8 + \sin x)^4} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。

$\int \frac{\cos x}{(8 + \sin x)^4} dx$

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を用います。

$u = 8 + \sin x$ と置くと、$du = \cos x dx$ となります。

積分を $u$ で書き換えると、

$\int \frac{\cos x}{(8 + \sin x)^4} dx = \int \frac{1}{u^4} du = \int u^{-4} du$

となります。

$u^{-4}$ の積分は、

$\int u^{-4} du = \frac{u^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3u^3} + C$

です。

ここで、$u = 8 + \sin x$ を代入すると、

$-\frac{1}{3(8 + \sin x)^3} + C$

となります。

3. 最終的な答え

最終的な答えは、

$-\frac{1}{3(8 + \sin x)^3} + C$

です。