不定積分 $\int (6x-1)e^{3x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (6x-1)e^{3x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。

部分積分の公式は、$\int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx$ です。

ここでは、$u(x) = 6x-1$、$v'(x) = e^{3x}$ とします。

すると、$u'(x) = 6$、$v(x) = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}$ となります。

部分積分の公式に当てはめると、

$\int (6x-1)e^{3x} dx = (6x-1)\cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int 6 \cdot \frac{1}{3}e^{3x} dx$

$= (6x-1)\cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int 2e^{3x} dx$

$= \frac{1}{3}(6x-1)e^{3x} - 2 \int e^{3x} dx$

$= \frac{1}{3}(6x-1)e^{3x} - 2 \cdot \frac{1}{3}e^{3x} + C$

$= \frac{1}{3}(6x-1)e^{3x} - \frac{2}{3}e^{3x} + C$

$= \frac{1}{3}e^{3x}(6x-1-2) + C$

$= \frac{1}{3}e^{3x}(6x-3) + C$

$= (2x-1)e^{3x} + C$

3. 最終的な答え

$(2x-1)e^{3x} + C$ (Cは積分定数)