次の関数を微分する問題です。 (1) $y = (x^4 + 3x^2 - 2)^5$ (2) $s = \frac{1}{(t^2 - 4)^3}$ (3) $y = \sqrt[4]{x^2 + 3x + 2}$ (4) $s = \frac{1}{\sqrt[3]{(4 - t^2)^2}}$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = (x^4 + 3x^2 - 2)^5$

(2) $s = \frac{1}{(t^2 - 4)^3}$

(3) $y = \sqrt[4]{x^2 + 3x + 2}$

(4) $s = \frac{1}{\sqrt[3]{(4 - t^2)^2}}$

2. 解き方の手順

(1)

合成関数の微分公式を利用します。$y = u^5$、$u = x^4 + 3x^2 - 2$とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 5u^4$

$\frac{du}{dx} = 4x^3 + 6x$

$\frac{dy}{dx} = 5(x^4 + 3x^2 - 2)^4 (4x^3 + 6x) = 10x(2x^2 + 3)(x^4 + 3x^2 - 2)^4$

(2)

合成関数の微分公式を利用します。$s = u^{-3}$、$u = t^2 - 4$とすると、

$\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{du} \cdot \frac{du}{dt}$

$\frac{ds}{du} = -3u^{-4} = \frac{-3}{u^4}$

$\frac{du}{dt} = 2t$

$\frac{ds}{dt} = \frac{-3}{(t^2 - 4)^4} \cdot 2t = \frac{-6t}{(t^2 - 4)^4}$

(3)

$y = (x^2 + 3x + 2)^{\frac{1}{4}}$と書き換えることができます。

合成関数の微分公式を利用します。$y = u^{\frac{1}{4}}$、$u = x^2 + 3x + 2$とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{4} u^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4(x^2 + 3x + 2)^{\frac{3}{4}}}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4(x^2 + 3x + 2)^{\frac{3}{4}}} (2x + 3) = \frac{2x + 3}{4\sqrt[4]{(x^2 + 3x + 2)^3}}$

(4)

$s = (4 - t^2)^{-\frac{2}{3}}$と書き換えることができます。

合成関数の微分公式を利用します。$s = u^{-\frac{2}{3}}$、$u = 4 - t^2$とすると、

$\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{du} \cdot \frac{du}{dt}$

$\frac{ds}{du} = -\frac{2}{3} u^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3(4-t^2)^{\frac{5}{3}}}$

$\frac{du}{dt} = -2t$

$\frac{ds}{dt} = -\frac{2}{3(4-t^2)^{\frac{5}{3}}} (-2t) = \frac{4t}{3\sqrt[3]{(4-t^2)^5}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 10x(2x^2 + 3)(x^4 + 3x^2 - 2)^4$

(2) $\frac{ds}{dt} = \frac{-6t}{(t^2 - 4)^4}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 3}{4\sqrt[4]{(x^2 + 3x + 2)^3}}$

(4) $\frac{ds}{dt} = \frac{4t}{3\sqrt[3]{(4-t^2)^5}}$