与えられた定積分 $\int_{2}^{8} \frac{dx}{x^2 - 1}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{2}^{8} \frac{dx}{x^2 - 1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2 - 1}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ とおきます。

両辺に $(x - 1)(x + 1)$ をかけると、$1 = A(x + 1) + B(x - 1)$ となります。

$x = 1$ を代入すると、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$ が得られます。

$x = -1$ を代入すると、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$ が得られます。

したがって、$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2(x - 1)} - \frac{1}{2(x + 1)}$ となります。

与えられた積分は、

$\int_{2}^{8} \frac{dx}{x^2 - 1} = \int_{2}^{8} \left( \frac{1}{2(x - 1)} - \frac{1}{2(x + 1)} \right) dx = \frac{1}{2} \int_{2}^{8} \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} \right) dx$

となります。

$\int \frac{1}{x - 1} dx = \ln|x - 1| + C$ および $\int \frac{1}{x + 1} dx = \ln|x + 1| + C$ であるので、

$\frac{1}{2} \int_{2}^{8} \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} \right) dx = \frac{1}{2} \left[ \ln|x - 1| - \ln|x + 1| \right]_{2}^{8} = \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| \right]_{2}^{8}$

となります。

$\frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| \right]_{2}^{8} = \frac{1}{2} \left( \ln \frac{7}{9} - \ln \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( \ln \frac{7}{9} - \ln \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{7/9}{1/3} \right) = \frac{1}{2} \ln \frac{7}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln \frac{7}{3}$