与えられた無限級数の和を求める問題です。 $$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2^{n+3} + 3^{n+2}}{6^n} \right)$$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求める問題です。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2^{n+3} + 3^{n+2}}{6^n} \right)$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた級数を分解します。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2^{n+3} + 3^{n+2}}{6^n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+3}}{6^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n+2}}{6^n}$$

それぞれの級数を計算します。

第一項の級数：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+3}}{6^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot 2^3}{6^n} = 8 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{6} \right)^n = 8 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n$$

これは初項 $1/3$、公比 $1/3$ の等比級数なので、和は

$$8 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = 8 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$

第二項の級数：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n+2}}{6^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \cdot 3^2}{6^n} = 9 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{6} \right)^n = 9 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n$$

これは初項 $1/2$、公比 $1/2$ の等比級数なので、和は

$$9 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 9 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 9 \cdot 1 = 9$$

したがって、元の級数の和は

$$4+9=13$$

3. 最終的な答え

13