媒介変数 $t$ を用いて $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ および $y = \frac{2t}{1+t^2}$ と表されるとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ および $y = \frac{2t}{1+t^2}$ と表されるとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として求めよ。

2. 解き方の手順

$\frac{dy}{dx}$ を求めるには、$\frac{dy}{dt}$ と $\frac{dx}{dt}$ をそれぞれ計算し、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用いる。

まず、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ について、$t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = \frac{(-2t)(1+t^2) - (1-t^2)(2t)}{(1+t^2)^2} = \frac{-2t-2t^3 - 2t + 2t^3}{(1+t^2)^2} = \frac{-4t}{(1+t^2)^2}$

次に、$y = \frac{2t}{1+t^2}$ について、$t$ で微分する。

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{2t}{1+t^2}\right) = \frac{(2)(1+t^2) - (2t)(2t)}{(1+t^2)^2} = \frac{2+2t^2 - 4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2}}{\frac{-4t}{(1+t^2)^2}} = \frac{2-2t^2}{-4t} = \frac{2(1-t^2)}{-4t} = \frac{t^2-1}{2t}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{t^2-1}{2t}$