以下の6つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 5x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - e^x}{\sin^{-1}x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{(1+x)^{1/3} - x/3 - 1}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{\sin^2 x}$ (5) $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x}\right)$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin^{-1}x}{e^x + \log(1-x) - 1}$

## 問題の解答

1. 問題の内容

以下の6つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 5x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - e^x}{\sin^{-1}x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{(1+x)^{1/3} - x/3 - 1}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{\sin^2 x}$

(5) $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x}\right)$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin^{-1}x}{e^x + \log(1-x) - 1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 5x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{4x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{4}{5} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - e^x}{\sin^{-1}x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{x} = a$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - e^x}{\sin^{-1}x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1 - (e^x - 1)}{\sin^{-1}x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1 - (e^x - 1)}{x} \cdot \frac{x}{\sin^{-1}x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} - \frac{e^x - 1}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^{-1}x} = (3 - 1) \cdot 1 = 2$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{(1+x)^{1/3} - x/3 - 1}$

$\sqrt{1+x^2} \approx 1 + \frac{1}{2}x^2$ および $(1+x)^{1/3} \approx 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2$ (テイラー展開) を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{(1+x)^{1/3} - x/3 - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{1}{2}x^2 - 1}{1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 - \frac{x}{3} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{-\frac{1}{9}x^2} = -\frac{9}{2}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{\sin^2 x}$

$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ および $\log(1+x) \approx x$ および $\sin x \approx x$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 - \frac{x^2}{2})}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2}$

(5) $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x}\right)$

$\log(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2}$ (テイラー展開) を利用します。

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x\log(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{x^2}{2})}{x(x - \frac{x^2}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin^{-1}x}{e^x + \log(1-x) - 1}$

$\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}$, $\sin^{-1}x \approx x + \frac{x^3}{6}$, $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$, $\log(1-x) \approx -x - \frac{x^2}{2}$ (テイラー展開) を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin^{-1}x}{e^x + \log(1-x) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{(x + \frac{x^3}{3}) - (x + \frac{x^3}{6})}{(1 + x + \frac{x^2}{2}) + (-x - \frac{x^2}{2}) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6}x^3}{x^2-\frac{x^2}{2}}=0$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6}x^3}{\frac{x^2}{3}} =\lim_{x \to 0} \frac{1}{6}x\cdot 3=0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{5}$

(2) $2$

(3) $-\frac{9}{2}$

(4) $-\frac{1}{2}$

(5) $\frac{1}{2}$

(6) $0$