3次方程式 $2x^3 + 3x^2 - 12x - 2 = 0$ の実数解の個数と、それぞれの解の符号を調べます。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 + 3x^2 - 12x - 2 = 0$ の実数解の個数と、それぞれの解の符号を調べます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 2$ を考えます。

この関数の導関数を計算して、増減を調べます。

$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2) = 6(x+2)(x-1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -2$ と $x = 1$ のときです。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -2 | ... | 1 | ... |

| :---- | :---- | :-- | :---- | :-- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) - 2 = -16 + 12 + 24 - 2 = 18$

$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) - 2 = 2 + 3 - 12 - 2 = -9$

xが十分小さいとき、$f(x)$ は負の値を取り、xが十分大きいとき、$f(x)$ は正の値を取ります。

極大値は正の値であり、極小値は負の値なので、関数はx軸と3回交わります。

したがって、実数解は3個存在します。

$f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 12(-3) - 2 = -54 + 27 + 36 - 2 = 7 > 0$

$f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 12(-4) - 2 = -128 + 48 + 48 - 2 = -34 < 0$

よって、$x = -4$ と $x = -3$ の間に負の解が一つ存在します。

$f(0) = -2$

$f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) - 2 = 16 + 12 - 24 - 2 = 2$

$f(0) = -2 < 0$ であり、$f(1) = -9 < 0$ であるから、$x = 0$ と $x = 1$ の間に解は存在しません。

$f(1) = -9 < 0$ であり、$f(2) = 2 > 0$ であるから、$x = 1$ と $x = 2$ の間に正の解が一つ存在します。

3. 最終的な答え

実数解は3個存在し、符号は負が2個、正が1個です。

具体的には、負の解は $x \in (-4, -3)$ と $x \in (-2, 0)$ に存在し、正の解は $x \in (1, 2)$ に存在します。